Die Funktion f sei definiert durch
f(x)=Ax+B.
Bestimmen Sie f'(X) durch Grenzwertbildung
beim Differentialquotienten.
Die Ableitung einer Funktion f an
einer Stelle {\color{blue}x_0} ist definiert durch
\displaystyle
f'({\color{blue}x_0}) =
\lim_{x \to {\color{blue}x_0}}\,\frac{f(x)-f({\color{blue}x_0})}
{x-{\color{blue}x_0}}.
Hier sind
f(x)=Ax+B und
{\color{blue}x_0 = X}.
Das ergibt:
\displaystyle
f'({\color{blue}X}) =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{(Ax+B)
-(A\cdot{\color{blue}X}+B)}
{x-{\color{blue}X}} =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{Ax-A*X}{x-{\color{blue}X}}.
Der Grenzwert lässt sich nach Kürzen bestimmen.
Es folgt:
\displaystyle
f'({\color{blue}X}) =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{Ax-A*X}{x-{\color{blue}X}} =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{A(x-{\color{blue}X})}
{x-{\color{blue}X}} =
A.