Die Funktion f sei definiert durch
f(x)=Ax^2+Bx +C.
Bestimmen Sie f'(X) durch Grenzwertbildung
beim Differentialquotienten.
Einsetzen in die Definition ergibt:
\displaystyle
f'({\color{blue}X}) =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{(Ax^2+Bx +C)-
(A\cdot{\color{blue}X}^2+B \cdot
{\color{blue}X}
+C)}{x-{\color{blue}X}}
Versuchen Sie, den Bruch zu kürzen, um den Grenzwert zu bestimmen.
Es ist:
\displaystyle
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{(Ax^2+Bx +C)-
(A\cdot{\color{blue}X}^2+B
\cdot{\color{blue}X}+C)}
{x-{\color{blue}X}} =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{A(x^2-{\color{blue}X}^2) +
B(x-{\color{blue}X})}
{x-{\color{blue}X}}
und mit der Binomischen Formel:
\displaystyle
= \lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
\frac{
A
(x+{\color{blue}X})(x-{\color{blue}X}) +
B(x-{\color{blue}X})}
{x-{\color{blue}X}} =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
[A(x+{\color{blue}X}) + B].
Der Grenzwert lässt sich nun unter Verwendung der Grenzwertsätze berechnen
Es folgt:
\displaystyle
f'({\color{blue}X}) =
\lim_{x \to {\color{blue}X}}\,
[A(x+{\color{blue}X}) + B] =
A({\color{blue}X}+{\color{blue}X})
+ B =
2*A*X+B.