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math math-format graphie
DGL mit Richtungsfeld bestimmen: quadratisch
dgl-09-03
multiple
195
randRangeExclude(-8,8,[0]) randRangeExclude(-8,8,[0,-A,A]) A+B A*B

Gegeben sei unten das Richtungsfeld der DGL y' = y^2 + {\color{orange}a}y + {\color{teal}b}.

Bestimmen Sie die Werte \color{orange}a und \color{teal}b .

style({ stroke: "black", strokeWidth: 0.05 }); graphInit({ range: [[-8, 8], [-10,10]], scale: [22, 22], axisArrows: "->", tickStep: 1, }); label([0,A], "\\color{red}A", "left"); label([0,B], "\\color{blue}B", "left"); // Vektorfeld for(var i = -8; i <= 8; i+=1) { for(var j = -9; j <= 9; j+=1) { var dy = (j - A)*( j - B)/15; line([i - 0.25, j - dy*0.25], [i + 0.25, j + dy*0.25], { arrows: "", strokeWidth: 1, stroke: "gray" }); } }

x \color{orange}a = -T
y \color{teal}b = D

Das Richtungsfeld zeigt an einer Stelle (x_0,y_0) ein kleines Tangentenstück einer Lösung der DGL, auf der (x_0,y_0) liegt.

Die Steigung der Tangente ist durch den Wert der rechten Seite der DGL für Werte (x_0,y_0) gegeben.

An den Stellen \color{red}A und \color{blue}B sind die Tangentensteigungen gleich Null.

Damit sind \color{red}A und \color{blue}B die Nullstellen der rechten Seite der DGL y' = y^2 + {\color{orange}a}y + {\color{teal}b}.

Mit (y- A) (y- B) = y^2 +{\color{orange}a}y + {\color{teal}b} sind {\color{orange}a} = -T und {\color{teal}b} =D.