\blue{x_P} =
\blue{y_P} =
Gegeben sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x^3 + Bx y+ Cx + D y^2.
Diese hat zwei kritische Punkte
P = (\blue{x_P} ,\blue{y_P}) und
Q = (\red{x_Q} ,\red{y_Q}). Welche?
\blue{x_P} =
\blue{y_P} =
\red{x_Q} =
\red{y_Q}=
Für einen kritischen Punkt (x_0,y_0) ist f_x (x_0,y_0) = 0 = f_y (x_0,y_0).
Wir rechnen also I: \ f_x(x,y)= 3*A x^2 + B y + C und
II:\ f_y(x,y)= B x+ fractionReduce(2* B*B, 6*A*(L1+L2)) y.
Damit suchen wir Paare x,y, für die sowohl I als auch II Null
ist.
Mit II sehen wir, dass y = fractionReduce( -3*A*(L1+L2),B ) x
gelten muss.
Setze dies in I ein.
Damit wird I zu einer Quadratischen Gleichung
3*A x^2 + -3*A*(L1+L2) y + C = 0, die sich vereinfacht
zu
x^2 + -(L1+L2) y + L1*L2 = 0.
Mit Faktorisierung
x^2 + -(L1+L2) y + L1*L2 = (x - L1) (x - L2)
lesen wir die x - Koordinate x_P = L1 und
x_Q = L2 ab.
Einsetzen in die Gleichung II oben mit
y = fractionReduce( -3*A*(L1+L2),B ) x gibt dann auch
die y - Koordinate y_P = Y1 und
y_Q = Y2.