Gegeben sei die Matrix
A =
\begin{pmatrix} A & B\\
C & D \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie die Zahl {\color{blue}\lambda} und
den Eintrag {\color{red}y}, sodass
\begin{pmatrix} Y \\
{\color{red}y} \end{pmatrix}
ein Eigenvektor zum Eigenwert {\color{blue}\lambda} ist.
\color{blue} \lambda
=
L
\color{red} y
=
X
Wir suchen {\color{blue}\lambda} und {\color{red}y}
mit A \cdot \begin{pmatrix} Y \\
{\color{red}y} \end{pmatrix} =
{\color{blue}\lambda} \cdot \begin{pmatrix} Y \\
{\color{red}y} \end{pmatrix} .
Zunächst bestimmen wir {\color{blue}\lambda} als eine Nullstelle des Charakteristischen
Polynoms
\lambda^2 - T \cdot \lambda + S =
(\lambda - L) \cdot (\lambda - L2).
Wir rechnen \begin{pmatrix} A & B\\
C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\
{\color{red}y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
negParens(A) \cdot negParens(Y) + negParens(B) \cdot {\color{red}y} \\
negParens(C) \cdot negParens(Y) + negParens(D) \cdot {\color{red}y}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
AN*Y + negParens(B) \cdot {\color{red}y} \\
CN*Y +
negParens(D) \cdot {\color{red}y}
\end{pmatrix}
und wählen {\color{blue}\lambda} = L.
Wir suchen also {\color{red}y} mit
\begin{pmatrix}
AN*Y + negParens(B) \cdot {\color{red}y} \\
CN*Y +
negParens(D) \cdot {\color{red}y}
\end{pmatrix} = {\color{blue}L} \cdot
\begin{pmatrix} Y \\
{\color{red}y} \end{pmatrix}.
Mit der ersten Zeile
AN*Y + negParens(B) \cdot {\color{red}y}
= L*Y können wir dann
{\color{red}y} = X bestimmen.
Mit diesen Werten {\color{red}y} = X und {\color{blue}\lambda} = L
ist auch die 2. Gleichung CN*Y + D * X = L *X
erfüllt.
Wählen wir den anderen Eigenwert {\lambda} = L2, so gibt es kein solches
{\color{red}y}, sodass die beiden Gleichungen erfüllt sind.