Das Polynom
p(x) = x^3 - A+B+C x^2 + A*B + A*C + B*C x - A*B*C hat die Nullstelle
x_0 = C sowie zwei weitere {\color{blue}x_1} < {\color{red}x_2}.
Bestimmen Sie die beiden anderen Nullstellen.
{\color{blue}x_1}
=
A
{\color{red}x_2}
=
B
Da wir eine Nullstelle kennen (und vor dem x^3 eine 1 steht), ist
p(x) = x^3 - A+B+C x^2 + A*B + A*C + B*C x - A*B*C =
(x-C) \cdot \left( x^2 + {\color{orange}b} x + {\color{teal}c}\right).
Diese Koeffizienten {\color{orange}b} und {\color{teal}c} finden wir durch eine Polynomdivision.
Es ist x^3 - A+B+C x^2 - \left ( x^2 (x- C) \right )
= -A-B x^2 , und wir müssen
{\color{orange}b} = -A-B wählen.
Mit diesem {\color{orange}b} multiplizieren wir {\color{orange}bx} und
x - C und erhalten
- A-B x^2 + A*C+B*C x .
Nun subtrahieren wir
-A-B x^2 + A*B + A*C + B*C x - \left ( -A-B x^2 + A*C + B*C x
\right )
= B*A x, und wir müssen
{\color{teal}c} = A*B wählen.
Die Rechnung geht tatsächlich auf, denn wir rechnen
{\color{teal}c} \cdot \left( x - C \right ) =
C x - C*B*A und C x + A*C*B -
\left( C x + A*C*B \right)
=0.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung q(x) = x^2 +-A-B x
+A*B = 0 finden wir dann direkt mit Vieta:
{\color{blue}x_1} + {\color{red}x_2} = {\color{orange}A+B} und
{\color{blue}x_1} \cdot {\color{red}x_2} = {\color{teal}A*B}
und damit {\color{blue}x_1} = A < {\color{red}x_2} = B.