Die Punkte
\mathbf {\color{red}A} und \mathbf {\color{blue}B} liegen
auf einer Durchmessergeraden.
Geben Sie eine Parametrisierung
\gamma: [0,1] \to \mathbb R^2,
\gamma(t) = { \color{teal}\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}}
der kreisförmige Verbindung von
\mathbf {\color{red}A} zu \mathbf {\color{blue}B} an.
Hinweis: Verwenden Sie \arctan \left(fractionReduce(Y - My, X - Mx)\right) \approx rac.
{\color{teal}x(t)}\approx
Mx +
r \cdot \cos(\pi t +rac)
{\color{teal}y(t)}\approx
My +
r \cdot \sin(\pi t+rac)
Der Punkt \mathbf {\color{red}A} hat die Koordinaten {\color{red}(X,Y)},
der Punkt \mathbf {\color{blue}B} ist {\color{blue} (P,Q)}.
Der Mittelpunkt \mathbf {\color{purple}M} der Kreisverbindung liegt bei:
{\color{purple}{\mathbf M} = \left( \dfrac{X+P}{2},
\dfrac{Y+Q}{2} \right) =
\left( fractionReduce(X+P,2), fractionReduce(Y+Q,2) \right)}.
Der Radius ist R =
fR .
Sei \alpha der Winkel, den die Strecke von A nach B mit der x-Achse einschliesst.
Dieser ergibt sich als
\alpha = \arctan \left(\dfrac{Q-Y}{P-X}\right) = \arctan \left(fractionReduce(Y - My, X - Mx)\right) \approx rac.
Der Winkel \alpha sorgt dafür, dass der Halbkreis richtig orientiert ist und genau von Punkt A nach Punkt B verläuft.
Eine Parametrisierung für den Kreisbogen lautet mit
I = [0,1] dann
\gamma: [0,1] \to \mathbb R^2,
\gamma(t) \approx { \color{purple}\begin{pmatrix}
fractionReduce(X+P,2,small=true) \\
fractionReduce(Y+Q,2, small=true) \end{pmatrix} }+
fR \cdot { \color{teal}\begin{pmatrix} \cos(\pi t +rac ) \\ \sin(\pi t +rac) \end{pmatrix} }.
Damit sind
x(t) \approx {\color{teal}fractionReduce(X+P,2,small=true)
+ fR \cdot \cos(\pi t +rac)} und
y(t) \approx {\color{teal}fractionReduce(Y+Q,2,small=true)
+ fR \cdot \sin(\pi t +rac)}.