Sie sollen das Alter eines Tierskeletts anhand der Radiokarbonmethode bestimmen.
Dazu messen Sie den Anteil des radioaktiven Kohlestoffisotops C-14 in der Probe.
Da dieses instabil mit einer
Halbwertszeit von ca.
\color{blue}{5730} Jahren ist,
nimmt der Anteil an diesem Isotop
gegenüber stabilen Kohlestoffisotopen mit der Zeit
ab.
Ihre Messung ergibt, dass noch etwa
RT\% des ursprünglichen
Anteils an C-14 Atomen vorhanden sind.
Bestimmen Sie daraus das Alter
{\color{red}t_A}
des Skelettes.
Rechnen Sie mit genauen Zwischenergebnissen und runden Sie auf ganze Jahre.
Es sind N(0) = N_0 die Anzahl der
Kohlestoffatome zum Zeitpunkt des Todes des Tieres
und N(t) die Anzahl der
Kohlestoffatome zum Zeitpunkt der Messung.
Die Halbwertszeit liefert die Basis b
Zum Zeitpunkt der Halbwertszeit sind
50\% aller Atome bereits zerfallen,
es gilt also:
\displaystyle 0.5 =
b^{\color{blue}{5730}} und
\displaystyle b =
0.5^\frac{1}{\color{blue}{5730}}.
Die Messung ergibt, dass noch
RT\% des ursprünglichen
Anteils N_0, vorhanden sind.
Und damit:
N({\color{red}t_A}) =
RT/100 \cdot N_0 =
N_0 \cdot b^{{\color{red}t_A}} .
Diese Gleichung muss nach
{\color{red}t_A} aufgelöst werden.
Division durch N_0 und Einsetzen für
b liefert:
RT/100 =
0.5^{\frac{1}{\color{blue}{5730}}
\cdot {\color{red}t_A}}
Um die gesuchte Zahl
{\color{red}t_A}
im Exponenten freizustellen, verwenden wir die
Rechenregel des Logarithmus:
\ln a^x = x \cdot \ln a.
Wenden Sie nun den Logarithmus auf beide Seiten
der Gleichung
RT/100 =
0.5^{\frac{1}{\color{blue}{5730}} \cdot
{\color{red}t_A}}
an und verwenden Sie diese Rechenregel.
Die Lösung ist:
{\color{red}t_A} =\dfrac{\color{blue}{5730}}
{\ln 0.5}
\cdot \ln RT/100 \approx
sol.