Gegeben sei der Vektor \mathbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} und eine Basis \mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} A1 \\ B1 \\ C1 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} A2 \\ B2 \\ C2 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} A3 \\ B3 \\ C3 \end{pmatrix} \right\}.
Berechnen Sie den Koordinatenvektor [v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} von \mathbf{v} bezüglich der Basis \mathcal{B}.
\alpha =
alpha
\beta =
beta
\gamma =
gamma
Wir suchen \alpha, \beta, \gamma für die eindeutige Lösung des LGS \mathbf{v} = \alpha \mathbf{b}_1 + \beta \mathbf{b}_2 + \gamma \mathbf{b}_3.
Dies kann mit der Inversen der Matrix \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A1 & A2 & A3 \\ B1 & B2 & B3 \\ C1 & C2 & C3 \end{pmatrix} berechnet werden.
Die Inverse ist definiert als \mathbf{B}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{B})} \text{Adj}(\mathbf{B}), wobei \det(\mathbf{B}) = det und die Adjungierte folgende Elemente hat:
\text{Adj}_{11} = Adj11, \text{Adj}_{12} = Adj12, \text{Adj}_{13} = Adj13\text{Adj}_{21} = Adj21, \text{Adj}_{22} = Adj22, \text{Adj}_{23} = Adj23\text{Adj}_{31} = Adj31, \text{Adj}_{32} = Adj32, \text{Adj}_{33} = Adj33Berechnen Sie die Koordinaten durch Multiplikation der Inversen der Basis-Matrix mit dem Vektor \mathbf{v}.
Die berechneten Werte sind:
\alpha = (Inv11*X + Inv12*Y + Inv13*Z)\beta = (Inv21*X + Inv22*Y + Inv23*Z)\gamma = (Inv31*X + Inv32*Y + Inv33*Z)