de-CH
utf-8
math
Skalarprodukt in Funktionenräume (Polynome)
skp-02-02
multiple
512
randRangeExclude(-5,5,[-1,0,1]) randRange(2,5) randRange(2,5) randRange(2,5) randRange(2,5)

Gegeben sei der euklidische Vektorraum \left(\mathcal P_{\leq 2}, \langle \ , \ \rangle \right) mit \displaystyle \langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \; dx.

Berechnen Sie das Skalarprodukt für {\color{red}p}, \ {\color{blue}q} \; : [-1,1] \to \mathbb{R} mit {\color{red}p(x) = Ax^2 + Bx +C} und {\color{blue}q(x) = Dx^2 + Ex + 1}.

\langle p, q \rangle = (2*A*D/5) + (2*(A + B*E + C*D)/3) + 2*C

Wir berechnen mit dem Hauptsatz das SKP als bestimmtes Integral \displaystyle \langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} {\color{red}p(x)} {\color{blue}q(x)} \, dx.

Eingesetzt ist dies:

\displaystyle \int_{-1}^{1} \left( Ax^2 + Bx +C \right) \left( Dx^2 + Ex + 1 \right) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( A*Dx^4 + A*E+B*Dx^3 + A+ B*E+C*Dx^2 +B+C*Ex +C \right) \, dx

Mit dem Hauptsatz und Symmetrie dann \displaystyle \int_{-1}^{1} \left( A*Dx^4 + A*E+B*Dx^3 + A+ B*E+C*Dx^2 +B+C*Ex +C \right) \, dx = fractionReduce(A*D,5) x^5 + fractionReduce(A + B*E + C*D,3) x^3+ C \bigg |_{-1}^{1} = fractionReduce(6*A*D + 10*(A + B*E + C*D) + 30*C,15) .