Gegeben sei der euklidische Vektorraum
\left(\mathcal P_{\leq 2}, \langle \ , \ \rangle \right)
mit
\displaystyle \langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \; dx
.
Berechnen Sie das Skalarprodukt für {\color{red}p}, \ {\color{blue}q} \; : [-1,1] \to \mathbb{R}
mit {\color{red}p(x) = Ax^2 + Bx +C}
und
{\color{blue}q(x) = Dx^2 + Ex + 1}
.
\langle p, q \rangle =
(2*A*D/5) + (2*(A + B*E + C*D)/3) + 2*C
Wir berechnen mit dem Hauptsatz das SKP als bestimmtes Integral
\displaystyle \langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} {\color{red}p(x)} {\color{blue}q(x)} \, dx
.
Eingesetzt ist dies:
\displaystyle
\int_{-1}^{1} \left( Ax^2 + Bx +C \right) \left( Dx^2 + Ex + 1 \right) \, dx =
\int_{-1}^{1} \left( A*Dx^4 + A*E+B*Dx^3 +
A+ B*E+C*Dx^2 +B+C*Ex +C \right) \, dx
Mit dem Hauptsatz und Symmetrie dann
\displaystyle
\int_{-1}^{1} \left( A*Dx^4 + A*E+B*Dx^3 +
A+ B*E+C*Dx^2 +B+C*Ex +C \right) \, dx =
fractionReduce(A*D,5) x^5 + fractionReduce(A + B*E + C*D,3) x^3+
C \bigg |_{-1}^{1} = fractionReduce(6*A*D + 10*(A + B*E + C*D) + 30*C,15)
.