Differential­rechnung

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Grenzwerte von Funktionen

Grenzwert an einer endlichen Stelle, Stetigkeit; Grenzwert im Unendlichen

Existenz von Grenzwerten (MC)

Überprüfen, ob ein gegebener Grenzwert existiert oder nicht.

Aufgabe 1: \( x \to x_0 \)

Überprüfen, ob für eine trigonometrische Funktion \(f\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\) existiert.

Aufgabe 2: \( x \to \infty \)

Überprüfen, ob für eine trigonometrische Funktion \(f\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)\) existiert.

Aufgabe 3: \( x \to \infty \)

Überprüfen, ob für eine Polynomfunktion \(f\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)\) existiert.

Aufgabe 4: \( x \to x_0 \)

Überprüfen, ob für eine Funktion \(g\) der Form \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\) existiert.

Aufgabe 5: \( x \to x_0 \)

Überprüfen, ob für eine Funktion \(g\) der Form \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\) existiert.

Aufgabe 6: \( x \to \infty \)

Überprüfen, ob für eine Funktion \(g\) der Form \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}g(x)\) existiert.

Grenzwerte bestimmen

Grenzwertsätze; Unbestimmte Ausdrücke

Grad Zähler gleich Grad Nenner

Grenzwert \( x \to x_0 \) eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) berechnen, dessen Zähler und Nenner jeweils ein Polynom gleichen Grades ist.

Aufgabe 1

Durch direktes Einsetzen den Grenzwert \( x \to x_0 \) eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) berechnen, dessen Zähler und Nenner jeweils ein Polynom gleichen Grades ist.

Aufgabe 2

Durch Kürzen den Grenzwert \( x \to x_0 \) eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) berechnen, dessen Zähler und Nenner jeweils ein Polynom gleichen Grades ist.

Grad Zähler gleich Grad Nenner \(+ 1 \)

Berechnen des Grenzwerts eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\), bei dem der Grad des Zählers um eins grösser ist als der Grad des Nenners.

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Grad Zähler gleich Grad Nenner \(+ \frac 12 \)

Aufgabe 5

Berechnen des Grenzwerts eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\), bei dem der Grad des Zählers um \( \dfrac 12 \) grösser ist als der Grad des Nenners.

Grenzwert für \( x \to \infty \)

Aufgabe 6

Grenzwert \( x \to \infty \) eines Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) berechnen, dessen Zähler und Nenner jeweils ein Polynom gleichen Grades ist.

Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Ableitung an einer Stelle; Beispiele: Lineare und Quadratische Funktionen

Berechnung des Differential­quotienten

Mit dem Differentialquotienten \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) die Ableitung einer gegebenen Funktion in einem Punkt \(x_0\) bestimmen.

Aufgabe 1

Mit dem Differentialquotienten die Ableitung einer gegebenen linearen Funktion in einem Punkt bestimmen.

Aufgabe 2

Mit dem Differentialquotienten die Ableitung einer gegebenen quadratischen Funktion in einem Punkt bestimmen.

Interpretation der Ableitung

Ableitung als Beschleunigung, Zuflussrate oder Tangentensteigung

Anwendung der Differential­rechnung

Aufgabe 1

Anhand von zwei gegebenen Graphen erkennen, wo die Funktionen die gleiche Ableitung haben.

Ableitung als Funktion

Definition und Beispiele der Ableitungsfunktion

Berechnung der Ableitung mit Differential­quotienten

Mit dem Differentialquotienten die Ableitung einer gegebenen Funktion bestimmen.

Aufgabe 1

Mit dem Differentialquotienten die Ableitungsvorschrift \(f'(x)\) einer gegebenen linearen Funktion \(f\) bestimmen.

Aufgabe 2

Mit dem Differentialquotienten die Ableitungsvorschrift \(f'(x)\) einer gegebenen quadratischen Funktion \(f\) bestimmen.

Potenzregel

Ableitung einer Potenzfunktion \( x \mapsto x^n \) mit Herleitung

Potenzregel mit natürlichen Exponenten

Aufgabe 1

Anwendung der Potenzregel zur Berechnung der Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^\alpha\) mit gegebenem \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Summen- und Faktorregel

Ableitung von \( x \mapsto f(x) + g(x) \) und \( x \mapsto a \cdot f(x) \) mit Herleitung

Ableitung von Polynom­funktionen

Aufgabe 1

Die Ableitungsvorschrift \(f'(x)\) einer Polynomfunktion \(f\) bestimmen.

Produkt- und Quotientenregel

Ableitung eines Produktes \( x \mapsto f(x) \cdot g(x) \) oder eines Quotienten \( x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)} \) ​

Funktionsvorschrift- oder wert bestimmen

Ableitungen mithilfe der Produkt- und Quotientenregel bestimmen.

Aufgabe 1: Produkt

Die Ableitungsvorschrift \(f'(x)\) einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\) bestimmen, wobei \(g(x)\) und \(h(x)\) Polynomfunktionen mit Grad \(\leq 2\) definieren.

Aufgabe 2: Produkt

Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen \(f(x)\cdot g(x)\) an einer Stelle \(x_0\) bestimmen, wobei \(f(x_0)\), \(f'(x_0)\), \(g(x_0)\) und \(g'(x_0)\) gegeben sind.

Aufgabe 3: Quotient

Die Ableitungsvorschrift \(f'(x)\) einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\) bestimmen, wobei \(g(x)\) und \(h(x)\) Polynomfunktionen mit Grad \(\leq 2\) definieren.

Aufgabe 4: Quotient

Die Ableitungsvorschrift des Quotienten zweier Funktionen \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) an einer Stelle \(x_0\) bestimmen, wobei \(f(x_0)\), \(f'(x_0)\), \(g(x_0)\) und \(g'(x_0)\) gegeben sind.

Aufgabe 5: Potenz

Die Ableitungsvorschrift einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=a\cdot x^{-p}\) bestimmen.

Kettenregel

Erinnerung: Verkettung von Funktionen; Ableiten einer Verkettung \( x \mapsto (f \circ g)(x) \) mit Herleitung

Funktionsvorschrift- oder wert bestimmen

Ableitungen mithilfe der Kettenregel bestimmen.

Aufgabe 1

Die Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=g(x)^a\) bestimmen, wobei \(g(x)\) linear ist.

Aufgabe 2

Die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen \((g\circ f)(x)\) an einer Stelle \(x_0\) bestimmen, wobei \(f(x_0)\), \(f'(x_0)\), \(g(x_0)\), \(g'(x_0)\) und \((g\circ f)(x_0)\) gegeben sind.

Anwendung Kettenregel

Aufgabe 3

Den Parameter \(\lambda\) in einem Modell \(B(t)=e^{\lambda t^p}\) bestimmen, wobei \(\frac{B'(t)}{B(t)}=-a\cdot t^n\) und der Anfangswert \(B(0)\) gegeben sind.

Ableitung der Umkehrfunktion

Erinnerung Umkehrfunktion; Ableiten der Umkehrfunktion mit Kettenregel; Anwendung auf Wurzelfunktion

Ableiten von Wurzeln

Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=\sqrt{g(x)}\) bestimmen.

Aufgabe 1

Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=\sqrt{g(x)}\) bestimmen, wobei \(g(x)\) linear ist.

Aufgabe 2

Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=\sqrt{g(x)}\) bestimmen, wobei \(g(x)\) eine trigonometrische Funktion definiert.

Ableiten der trigonometrischen Funktionen

Ableiten von \( \sin, \cos \) und \( \tan \)

Ableiten von \( \sin, \cos \)

Aufgabe 1

Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=a\cdot g(x)\) bestimmen, wobei \(g(x)\) eine trigonometrische Funktion definiert.

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Ableiten der \(e \)-Funktion \(x \mapsto e^x \) mit Herleitung

Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung

Ableiten der \( \ln \)-Funktion \(x \mapsto \ln (x) \) als Umkehrfunktion

Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Ableiten von Exponential- und Logarithmusfunktion \(x \mapsto \log_a(x), x \mapsto a^x \) zu einer beliebigen Basis \(a \)

Aufgaben zu übergreifenden Themen

Tangentensteigung vorgegeben

Parameter in Funktionen bestimmen, sodass die Tangente an die Funktion an einer Stelle eine vorgegebene Steigung hat.

Aufgabe 1

Bestimmung des Parameters \(a\), sodass die Ableitung einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^a\log_b(x)\) an der Stelle \(e^a\) verschwindet.

Aufgabe 2

Bestimmung des Parameters \(B\), sodass die Tangente einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^3 + Bx^2+C\) an einer Stelle \(x_0\) die Steigung Null hat.

Aufgabe 3

Bestimmung des Parameters \(B\), sodass die Tangente einer Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^3 + Bx^2+C\) an einer Stelle \(x_0\) eine vorgegebene Steigung hat.

Extremum vorgegeben

Aufgabe 4

Bestimmung des Parameters \(B\), sodass eine Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^3 + Bx^2+C\) an einer Stelle \(x_0\) ein Extremum hat.

Wendepunkt vorgegeben

Aufgabe 5

Bestimmung des Parameters \(B\), sodass eine Funktion \(f\) der Form \(f(x)=x^3 + Bx^2+C\) an einer Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt hat.

Tangentensteigung bestimmen

Die Steigung der Tangente an den Graphen verschiedener Funktionen bestimmen.

Aufgabe 6

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion \(f\) mit \(f(x)=g(a\cdot x)\) in einem Punkt bestimmen, wobei \(g(x)\) eine trigonometrische Funktion definiert.

Aufgabe 7

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades an einem Punkt bestimmen.

Aufgabe 8

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion \(f\) mit \(f(x)=\ln(a\cdot x^2)\) in einem Punkt bestimmen.