Trigonometrie

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Trigonometrische Funktionen

Gradmass vs. Bogenmass; Konstruktion Trigonometrischer Werte am Einheitskreis; Definition Trigonometrischer Funktionen, deren Graph und wichtige Werte; Periodische Funktionen

Bogenmass

Umrechnen von Bogenmass in Gradmass und vice versa.

Aufgabe 1

Bogenmass in Gradmass umrechnen.

Aufgabe 2

Gradmass in Bogenmass umrechnen.

Qualitatives Rechnen mit trigonometrischen Werten

Trigonometrischen Funktionen bei spitzen, stumpfen und negativen Winkel qualitativ auswerten und damit rechnen.

Aufgabe 1: Vorzeichen I

Graphisch anhand des Einheitskreises bestimmen, wie viele der vorgegebenen trigonometrischen Funktionen positiv sind.

Aufgabe 2: Vorzeichen II

Graphisch anhand des Einheitskreises bestimmen, wie viele der vorgegebenen trigonometrischen Funktionen negativ sind.

Aufgabe 3: Quotient I

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden.

Aufgabe 4: Quotient II

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden.

Aufgabe 5: Produkt

Graphisch das Produkt \(\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden.

Aufgabe 6: Produkt und Quotient I

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\beta)\cos(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden.

Aufgabe 7: Produkt und Quotient II

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\beta)\cos(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden.

Aufgabe 8: Quotient III

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden und \(\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=1\) gilt.

Aufgabe 9: Quotient IV

Graphisch das Verhältnis \(\dfrac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\) bestimmen, wenn \(\alpha\) und \(\beta\) sich um ein Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\) unterscheiden und \(\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=1\) gilt.

Vergleich \( \sin, \cos \)

Aufgabe 10

Das kleinste \(n>2k\) bestimmen, sodass \(\cos\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)>\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\) gilt.

Anwendung Pythagoras

Aufgabe 11

Durch Anwenden des trigonometrischen Pythagoras eine Gleichung der Form \(a\cdot \sin(\alpha)=\cos(\alpha)\) lösen.

Periode einrichten: Trigonometrische Funktionen

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass eine trigonometrische Funktion mit \(f(b\cdot x)\) eine vorgegebene Periode hat.

Aufgabe 1

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass die Funktion mit \(\sin(b\cdot x)\) eine vorgegebene Periode hat.

Aufgabe 2

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass die Funktion mit \(\cos(b\cdot x)\) eine vorgegebene Periode hat.

Aufgabe 3

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass die Funktion mit \(\tan(b\cdot x)\) eine vorgegebene Periode hat.

Aufgabe 4

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass die Funktion mit \(\cot(b\cdot x)\) eine vorgegebene Periode hat.

Periode einrichten: Allgemeine Funktionen

Aufgabe 5

Bestimmung einer Variable \(b\), sodass eine Funktion \(g\) der Form \(g(x)=f(b\cdot x)\) eine vorgegeben Periode hat. Die Periode der Funktion \(f\) ist dabei gegeben.

Periode bestimmen: Trigonometrische Funktionen

Bestimmung der Periode einer trigonometrischen Funktion.

Aufgabe 6

Bestimmung der Periode einer Funktion der Form \(\sin(a\cdot (\pi x))\).

Aufgabe 7

Bestimmung der Periode einer Funktion der Form \(\cos(a\cdot (\pi x))\).

Aufgabe 8

Bestimmung der Periode einer Funktion der Form \(\tan(a\cdot (\pi x))\).

Aufgabe 9

Bestimmung der Periode einer Funktion der Form \(\cot(a\cdot (\pi x))\).

Periode bestimmen: Allgemeine Funktionen

Aufgabe 10

Bestimmung der Periode einer Funktion \(f(a\cdot x)\) mit gegebenem \(a\) und Periode von \(f\).

Trigonometrische (Umkehr-)Funktionen und ihre Anwendung

Definition und Veranschaulichung einer Umkehrfunktion; Anwendung beim Lösen von Gleichungen

Trigonometrie im Dreieck

Trigonometrische Werte im Rechtwinkligen Dreieck; (Ko-)Sinus in einem allgemeinen Dreieck

Flächenveränderung bestimmen

Aufgabe 1

Prozentuale Flächenveränderung eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen, wenn die Katheten um einen Prozentsatz verlängert und verkürzt werden.

Längen bestimmen

Anwendung von Definitionen der trigonometrischen Funktionen, um eine fehlende Länge in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen.

Aufgabe 2

Anwenden des Sinus, um die Länge der Hypotenuse bei gegebenen Winkel und Länge der Gegenkathete zu bestimmen.

Aufgabe 3

Anwenden des Sinus, um die Länge der Gegenkathete bei gegebenen Winkel und Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

Aufgabe 4

Anwenden des Kosinus, um die Länge der Hypotenuse bei gegebenen Winkel und Länge der Ankathete zu bestimmen.

Aufgabe 5

Anwenden des Kosinus, um die Länge der Ankathete bei gegebenen Winkel und Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

Aufgabe 6

Anwenden des Tangens, um die Länge der Gegenkathete bei gegebenen Winkel und Länge der Ankathete zu bestimmen.

Aufgabe 7

Anwenden des Tangens, um die Länge der Ankathete bei gegebenen Winkel und Länge der Gegenkathete zu bestimmen.

Winkel bestimmen

Anwendung von Definitionen der trigonometrischen Funktionen, um einen fehlenden Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen.

Aufgabe 8

Einen Winkel bei gegebener Länge der Ankathete und Gegenkathete bestimmen.

Aufgabe 9

Einen Winkel bei gegebener Länge der Ankathete und Gegenkathete bestimmen.

Harmonische Schwingungen

Amplitude und deren Modulation; Periode und Schwingungsdauer; Frequenz und deren Modulation; Winkelgeschwindigkeit / Kreisfrequenz; Phasenverschiebung; Die Harmonische Schwingung

Auslenkung bestimmen

Aufgabe 1

Graphisch die Amplitude einer harmonischen Schwingung bestimmen.

Frequenzmodulation bestimmen

Aufgabe 2

Veränderung der Frequenz einer trigonometrischen Funktion graphisch bestimmen.

Phasenverschiebung bestimmen

Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion bestimmen.

Aufgabe 3

Eine Funktion der Form \(\sin(a\cdot x)\) wird um eine Phase \(\varphi = q\cdot \pi\) verschoben. Die Variable \(q\) soll so bestimmt werden, dass für die resultierende Funktion \(f(\pi)=1\) gilt.

Aufgabe 4

Eine Funktion der Form \(\cos(a\cdot x)\) wird um eine Phase \(\varphi = q\cdot \pi\) verschoben. Die Variable \(q\) soll so bestimmt werden, dass für die die resultierende Funktion \(f(\pi)=1\) gilt.

Winkelgeschwindigkeit berechnen

Aufgabe 5

Graphisch die Winkelgeschwindigkeit einer gestauchten Sinus-Funktion bestimmen.