Exponential­funktion und Logarithmus­(funktion)

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Exponentielle Zusammenhänge, Definition und Eigenschaften

Exponentialfunktion - Wofür eigentlich? Definition und erste Eigenschaften; Vergleich mit einer linearen Funktion; Graph und dessen Eigenschaften

Graphische Bestimmung der Exponential­funktion

Bestimmung einer Unbekannten, sodass eine gegebene Exponentialfunktion einem bestimmten Graphen entspricht.

Aufgabe 1

Bestimmung einer Unbekannten \(c\), sodass \(f(x)=c\cdot a^x\) einem gegebenen Graphen entspricht.

Aufgabe 2

Eine Funktion \(f\) der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt. Wie lautet \(g(x)\) für die resultierende Funktion \(g\)?

Modifikation Funktionsargument um 1

Wie ändert sich der Funktionswert \(f(x)\), wenn die Eingabe \(x\) um \(1\) erhöht/reduziert wird?

Aufgabe 1

Die Eingabe \(x\) wird um \(1\) erhöht. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot b^x\)?

Aufgabe 2

Die Eingabe \(x\) wird um \(1\) reduziert. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot b^x\)?

Aufgabe 3

Die Eingabe \(x\) wird um \(1\) erhöht. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot \left(\dfrac{1}{b}\right)^x\)?

Aufgabe 4

Die Eingabe \(x\) wird um \(1\) reduziert. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot \left(\dfrac{1}{b}\right)^x\)?

Modifikation Funktionsargument um variablen Wert

Wie ändert sich der Funktionswert \(f(x)\), wenn die Eingabe \(x\) um eine ganze Zahl erhöht/reduziert wird?

Aufgabe 5

Die Eingabe \(x\) wird um eine ganze Zahl erhöht. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot b^x\)?

Aufgabe 6

Die Eingabe \(x\) wird um eine ganze Zahl reduziert. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot b^x\)?

Aufgabe 7

Die Eingabe \(x\) wird um eine ganze Zahl erhöht. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot \left(\dfrac{1}{b}\right)^x\)?

Aufgabe 8

Die Eingabe \(x\) wird um eine ganze Zahl reduziert. Wie ändert sich der Wert \(f(x)=a\cdot \left(\dfrac{1}{b}\right)^x\)?

Bestimmung von Funktions­gleichungen

Wachstumsprozesse; Bestimmung der Basis; Halbwertzeit; Aufstellen durch zwei Punkte (Messwerte)

Ermittlung der Basis graphisch

Aufgabe 1

Bestimmung der Basis \(a\), wenn die Funktion \(f(x)=c\cdot a^x\) graphisch gegeben ist.

Aufstellen der Exponential­funktion durch zwei Werte

Gegeben sind zwei Punkte. Für welche Exponentialfunktion \(f(x)=c\cdot a^x\) liegen die Punkte dann auf dem Graphen?

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Ermittlung der Basis in Veränderungs­prozessen

Bestimmung der Variable (Basis) \(a\) in der Exponentialfunktion \(N(t)=N_0\cdot a^t\) für unterschiedliche Modelle.

Aufgabe 1

Bestimmung der Basis \(a\) in \(N(t)=N_0\cdot a^t\), welches den Zerfall eines Isotops mit gegebener Halbwertszeit beschreibt.

Aufgabe 2

Bestimmung der Basis \(a\) in \(N(t)=N_0\cdot a^t\), welches eine Anzahl Bakterien mit gegebener Verdoppelungszeit beschreibt.

Aufgabe 3

Bestimmung der Basis \(a\) in \(N(t)=N_0\cdot a^t\), welches ein Populationsmodell beschreibt.

Wachstums­gesetze aufstellen und Werte bestimmen

Bestimmung der Vorschrift für eine Exponentialfunktion bei gegebenem Modell.

Aufgabe 1

Bestimmung der Exponentialfunktion, welche den Baumbestand nach \(t\) Jahren modelliert, wobei der Zuwachs der Bäume prozentual pro Jahr gegeben ist.

Aufgabe 2

Bestimmung der Exponentialfunktion, welche die Temperatur eines Gegenstandes nach \(t\) Minuten modelliert, wobei die Abkühlung prozentual pro Minute gegeben ist.

Aufgabe 3

Bestimmung der Exponentialfunktion, welche den Zerfall eines Elements modelliert, wobei gegeben ist, um wie viel Prozent die Anzahl der vorhandenen Atome pro Sekunde abnimmt.

Die Eulersche Zahl \( e \)

Motivation / Definition; Eigenschaften und Vorteile von \( x \mapsto e^x \)

Der Logarithmus

Definition von \( \lg(a), \log(a) \) und \( \ln(a) \); Bedeutung und Veranschaulichung durch Beispiele; Wichtige Identitäten / Eigenschaften

Berechnung des Logarithmus zur Basis \(2\) und \(10\)

Aufgabe 1

Berechnung des Logarithmus zur Basis \(2\) und \(10\)

Ermittlung der Basis

Bestimmung der Basis \(b\) in einer Gleichung der Form \(\log_b(x)=y\), wobei \(x,y\) gegeben sind.

Aufgabe 2 (MC)

Anhand von Auswahlmöglichkeiten die Basis \(b\) in einer Gleichung der Form \(\log_b(x)=y\) erkennen, wobei \(x,y\) gegeben sind.

Aufgabe 3

Bestimmung der Basis \(b\) in einer Gleichung der Form \(\log_b(x)=y\) wobei \(x,y\) gegeben sind.

Logarithmengesetze

Gesetze (mit Beweisen); Lösen einer Exponentialgleichung; Basiswechsel

Rechenregeln

Aufgabe 1

Ermittlung des Faktors \(b\) in einer Gleichung der Form \(\ln(x\cdot b)=\ln(a)+\ln(c)\) mit gegebenen \(x,a\) und \(c\).

Lösen von Exponential­gleichungen

Aufgabe 2

Anwenden des Logarithmus, um eine Exponentialgleichung zu lösen.

Basiswechsel

Anwenden der Basiswechsel-Formel, um Gleichungen mit Logarithmen in unterschiedlichen Basen zu lösen.

Aufgabe 3

Eine Gleichung der Form \(\log_a(b)\cdot \log_b(x)=1\) nach \(x\) lösen.

Aufgabe 4

Einen Term der Form \(\log_a(b)\cdot \log_b(a^n)\) auswerten.

Aufgabe 5

Einen Term der Form \(\dfrac{\log_a(\sqrt{b})}{\log_{a^n}(\sqrt{b})}\) auswerten.

Die Logarithmus­funktion

Graph \( x \mapsto \log_B(a) \); Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion

Graph bestimmen

Aufgabe 1

Bestimmung des Logarithmus eines Funktionswerts anhand eines Graphen, bei dem die \(y\)-Achse exponentiell skaliert wurde

Halb-Logarithmische Darstellung

Aufgabe 2

Bestimmung von \(a^{f(b)}\) bei gegebenem \(a\), wobei \(f(b)\) mittels einer halblogarithmischen Darstellung abgelesen werden kann.

Graphen der Logarithmus­funktion ausgleichen

Finden eines Parameters \(C\), so dass die Funktion \(f(x)=C\cdot \log_b(x)\) einem gegebenen Graphen entspricht.

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Graphen der Logarithmus­funktion erkennen (MC)

Bestimmung Graphen einer Logarithmusfunktion.

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Spiegelung der Logarithmus­funktion (MC)

Mit Spiegelung des Graphen für \(f(x)=\log_b(x)\) erkennen, welcher Graph \(\log_{\frac{1}{b}}(x)\) beschreibt.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Umkehrfunktion bestimmen (MC)

Gegeben ist ein Graph für \(f(x)=a^x\). Welcher Graphen gehört zur Umkehrfunktion \(f^{-1}\)?

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Exponentielle Prozesse bestimmen und auswerten

(Ingredienzen einer) Exponentialfunktion von gegebenen Modellen bestimmen.

Aufgabe 1

Den Parameter \(\lambda\) eines Wachstumsmodells \(B(t)=N_0\cdot e^{\lambda t}\) bestimmen, wobei der Wachstum der Population in den ersten \(k\) Jahren gegeben ist.

Aufgabe 2

Die Zeit \(t_c\) bestimmen, in der ein Getränk auf eine bestimmte Temperatur abkühlt, wobei die Anfangstemperatur und die exponentielle Abkühlung in Prozent pro Stunde gegeben sind.

Aufgabe 3

Die Anzahl der Tage \(t_G\) bestimmen, nach denen \(x\) Personen von einem Gerücht erfahren werden, welches sich täglich in einem bestimmten Prozentsatz an Personen ausbreitet.

Aufgabe 4

Das Alter eines Tierskeletts \(t_A\) bestimmen, welches durch ein Zerfallsgesetz des Kohlenstoffisotops C-14 bestimmt werden kann. Die Halbwertszeit und der Anteil des Isotops im Skelett sind gegeben.

Aufgabe 5

Die Anzahl Halbwertszeiten bestimmen, nachdem nur noch \(x\) Prozent eines Medikaments im Körper vorhanden ist. Die Halbwertszeit des Medikamentenabbaus im Körper ist gegeben.

Aufgabe 6

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e ehemalige/r Raucher/in nach \(t\) Jahren des Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt, ist mit einer Exponentialfunktion \(f(t)\) gegeben. Bestimmung der Anzahl Jahre, nach denen das Risiko einer Lungenkrebserkrankung unter \(x\)% liegt.

Aufgabe 7

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e ehemalige/r Raucher/in nach \(t\) Jahren des Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt, ist mit einer Exponentialfunktion \(f(t)\) gegeben. Eine Person raucht seit \(x\) Jahren nicht mehr. Bestimmung der Anzahl Jahre bis das Risiko dieser Person nur noch ein \(\dfrac{1}{p}\) des jetzigen Risikos beträgt.