Vektorgeometrie

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Was ist ein Vektor?

Skalare vs. Vektorielle Grösse; Koordinatensysteme; Definition eines Vektors im \( \mathbb R^2 \) und \( \mathbb R^3 \); Addition und Skalare Multiplikation; Länge eines Vektors

Graphische Darstellung von Vektoren

Aufgabe 1

Aus graphisch gegebenen Pfeilen einen gegebenen Vektor identifizieren.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Addieren und Subtrahieren von zwei gegebenen Vektoren.

Aufgabe 2

Gegebene ebene Vektoren addieren.

Aufgabe 3

Gegebene räumliche Vektoren addieren.

Aufgabe 4

Gegebene ebene Vektoren subtrahieren.

Aufgabe 5

Gegebene räumliche Vektoren subtrahieren.

Berechnung eines Vektors zwischen zwei Punkten

Verbindungsvektor zweier gegebener Ortsvektoren berechnen.

Aufgabe 6

Verbindungsvektor zweier gegebener Ortsvektoren in der Ebene berechnen.

Aufgabe 7

Verbindungsvektor zweier gegebener Ortsvektoren im Raum berechnen.

Multiplikation mit einem Skalar: Arithmetisch

Einen gegebenen Vektor mit einem Skalar \(a\) multiplizieren.

Aufgabe 1

Einen gegebenen ebenen Vektor mit einem Skalar \(a\) multiplizieren.

Aufgabe 2

Einen gegebenen räumlichen Vektor mit einem Skalar \(a\) multiplizieren.

Multiplikation mit einem Skalar: Geometrisch

Aus graphisch gegebenen Pfeilen den Vektor \(r\cdot \vec{v}\) bestimmen.

Aufgabe 3

Aus graphisch gegebenen Pfeilen den Vektor \(r\cdot \vec{v}\) mit \( r>1\) bestimmen.

Aufgabe 4

Aus graphisch gegebenen Pfeilen den Vektor \(r\cdot \vec{v}\) mit \(0 < r < 1\) bestimmen.

Aufgabe 5

Aus graphisch gegebenen Pfeilen den Vektor \(r\cdot \vec{v}\) mit \( r < -1\) bestimmen.

Aufgabe 6

Aus graphisch gegebenen Pfeilen den Vektor \(r\cdot \vec{v}\) mit \(-1 < r < 0 \) bestimmen.

Weiteres geometrisches ebenes Vektoryoga

Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren graphisch interpretieren.

Aufgabe 1

Die Koordinaten eines graphisch gegebenen Vektors bestimmen.

Aufgabe 2

Einen gegebenen Ortsvektor \(v\) graphisch interpretieren.

Aufgabe 3

Das Vielfache \(av\) eines gegebenen Ortsvektor graphisch interpretieren.

Aufgabe 4

Graphisch die Summe zweier gegebener Vektoren interpretieren.

Aufgabe 5

Graphisch die Differenz zweier gegebener Vektoren interpretieren.

Länge eines Vektors

Länge eines Vektors berechnen und damit rechnen.

Aufgabe 1

Die Länge \(|\vec{v}|\) eines ebenen Vektors \(\vec{v}\) berechnen.

Aufgabe 2

Die Länge \(|\vec{v}|\) eines räumlichen Vektors \(\vec{v}\) berechnen.

Aufgabe 3

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{a}\) berechnen, wobei neben den anderen Koordinaten die Länge des Vektors \(|\vec{a}|\) gegeben ist.

Geraden

Parameterdarstellung einer Geraden im \( \mathbb R^2 \) und \( \mathbb R^3 \); Gegenseitige Lage zweier Geraden: schneidend, parallel, identisch, windschief

Geraden im \( \mathbb R^2 \): Koordinatenform bestimmen

Bei gegebener Gerade in Parameterform zwei fehlende Koordinaten in der Koordinatenform bestimmen.

Aufgabe 1

Sei \(g: \vec{r} = \vec{u} + t \vec{v} \) eine ebene Gerade in Parameterform. Mit welchem \(a\) und welchem \(c\) ist \(ax+by=c\) die Koordinatenform der Geraden?

Aufgabe 2

Sei \(g: \vec{r} = \vec{u} + t \vec{v} \) eine ebene Gerade in Parameterform. Mit welchem \(b\) und welchem \(c\) ist \(ax+by=c\) die Koordinatenform der Geraden?

Aufgabe 3

Sei \(g: \vec{r} = \vec{u} + t \vec{v} \) eine ebene Gerade in Parameterform. Mit welchem \(a\) und welchem \(b\) ist \(ax+by=c\) die Koordinatenform der Geraden?

Parameterform bestimmen

Bei gegebener Gerade in Koordinatenform zwei fehlende Koordinaten in der Parameterform bestimmen.

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Lagebeziehungen von Geraden

Schnittpunkt zweier gegebener Geraden in Parameterform bestimmen.

Aufgabe 6

In der Ebene den Schnittpunkt zweier gegebener Geraden in Parameterform bestimmen.

Aufgabe 7

Im Raum den Schnittpunkt zweier gegebener Geraden in Parameterform bestimmen.

Aufgabe 8(MC)

Gerade erkennen, welche senkrecht auf einer gegebenen Gerade steht und einen gegebenen Schnittpunkt hat.

Ebenen

Parameterdarstellung und Koordinatendarstellung einer Ebene; Schnitt- und Lagefragen zu Ebenen

Punkt in Ebene legen: Parameterform

Bei gegebener Ebene in Parameterform die fehlende Koordinate eines Punktes \(P = (P_x,P_y,P_z )\) finden, sodass dieser auf der Ebene liegt.

Aufgabe 1

Sei \(E: \vec{r} = \vec{u} + s \vec{v} + t \vec{w} \) eine Ebene in Parameterform. Bestimmung der fehlenden Koordinaten \(P_x\).

Aufgabe 2

Sei \(E: \vec{r} = \vec{u} + s \vec{v} + t \vec{w} \) eine Ebene in Parameterform. Bestimmung der fehlenden Koordinaten \(P_y\).

Aufgabe 3

Sei \(E: \vec{r} = \vec{u} + s \vec{v} + t \vec{w} \) eine Ebene in Parameterform. Bestimmung der fehlenden Koordinaten \(P_z\).

Punkt in Ebene legen: Koordinatenform

Bei gegebener Ebene in Koordinatenform die fehlende Koordinate eines Punktes \(P = (P_x,P_y,P_z )\) finden, sodass dieser auf der Ebene liegt.

Aufgabe 4

Bei gegebener Ebene in Koordinatenform fehlendes \(P_x\) finden.

Aufgabe 5

Bei gegebener Ebene in Koordinatenform fehlendes \(P_y\) finden.

Aufgabe 6

Bei gegebener Ebene in Koordinatenform fehlendes \(P_z\) finden.

Schnittpunkt Gerade und Ebene

Aufgabe 7

Koordinaten des Schnittpunktes einer Gerade in Parameterform und einer Ebene in Koordinatenform bestimmen.

Lagebeziehungen von Geraden (MC)

Entscheiden, ob zwei gegebene Ebenen in Koordinatenform zueinander parallel, schneidend oder zusammenfallend sind.

Aufgabe 8

Aufgabe 9

Aufgabe 10

Skalarprodukt und Normalvektor

Arbeit als Skalarprodukt; Definition und Eigenschaften des Skalarproduktes; Definition, Bestimmung und geometrische Bedeutung eines Normalvektors; Anwendung: Abstand Punkt - Ebene

Berechnung des Skalarproduktes

Das Skalarprodukt zweier gegebener Vektoren berechnen.

Aufgabe 1

Das Skalarprodukt zweier ebener Vektoren berechnen.

Aufgabe 2

Das Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren berechnen.

Skalarprodukt vorgegeben: 1 von 2 Koordinaten berechnen

Fehlende Koordinaten eines ebenen Vektors berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor gegeben ist.

Aufgabe 1

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{w}\) berechnen, sodass dieser orthogonal zu einem gegebenen Vektor \(\vec{v}\) steht.

Aufgabe 2

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{w}\) berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) gegeben ist.

Aufgabe 3

Die (andere) fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{v}\) berechnen, sodass dieser orthogonal zu einem gegebenen Vektor \(\vec{w}\) steht.

Aufgabe 4

Die (andere) fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{v}\) berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) gegeben ist.

Skalarprodukt vorgegeben: 1 von 3 Koordinaten berechnen

Fehlende Koordinaten eines räumlichen Vektors berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor gegeben ist.

Aufgabe 5

Eine fehlende Koordinate eines räumlichen Vektors \(\vec{w}\) berechnen, sodass dieser orthogonal zu einem gegebenen Vektor \(\vec{v}\) steht.

Aufgabe 6

Eine fehlende Koordinate eines räumlichen Vektors \(\vec{w}\) berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) gegeben ist.

Aufgabe 7

Eine (andere) fehlende Koordinate eines räumlichen Vektors \(\vec{v}\) berechnen, sodass dieser orthogonal zu einem gegebenen Vektor \(\vec{w}\) steht.

Aufgabe 8

Eine (andere) fehlende Koordinate eines räumlichen Vektors \(\vec{v}\) berechnen, wobei das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) gegeben ist.

Vektorprodukt

Motivation: Lorentzkraft; Definition, Eigenschaften und Berechnung des Vektorproduktes; Anwendung: Ebene durch drei Punkte und Fläche eines Dreiecks

Vektorprodukt berechnen

Aufgabe 1

Das Vektorprodukt zweier gegebener Vektoren berechnen.

Vektorprodukt vorgegeben

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{w}\) bestimmen, sodass das Vektorprodukt \(\vec{v}\times\vec{w}\) mit einem gegebenen Vektor \(\vec{v}\) in einer gegebenen Ebene liegt.

Aufgabe 2

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{w}\) bestimmen, sodass das Vektorprodukt \(\vec{v}\times\vec{w}\) mit einem gegebenen Vektor \(\vec{v}\) in der \((x,z)\)-Ebene liegt.

Aufgabe 3

Die fehlende Koordinate eines Vektors \(\vec{w}\) bestimmen, sodass das Vektorprodukt \(\vec{v}\times\vec{w}\) mit einem gegebenen Vektor \(\vec{v}\) in der \((y,z)\)-Ebene liegt.