Integralrechnung

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Ein einleitendes Beispiel

Einführungsbeispiel der zurückgelegten Strecke anhand eines Fahrtenschreibers

Definition des bestimmten Integrals

Definition als Riemann-Summe; Erste geometrische Interpretation; Erste Berechnung von Hand

Riemann-Summen

Ein bestimmtes Integral von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.

Aufgabe 1

Ein bestimmtes Integral einer linearen Funktion \(f\) der Form \(f(x)=ax\) von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.

Aufgabe 2

Ein bestimmtes Integral einer quadratischen Funktion \(f\) der Form \(f(x)=ax^2\) von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.

Eine geometrische Interpretation

Das bestimmte Integral als Fläche; Das bestimmte Integral als etwas Anderes

Integral als Flächenbilanz: Konstant

Aufgabe 1

Integral einer konstanten Funktion graphisch durch den Flächeninhalt unter der Funktion bestimmen.

Integral als Flächenbilanz: Trigonometrisch

Mit der Flächenbilanz verschiedene bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen bestimmen.

Aufgabe 2

Für ein \(a\) jeweils den Wert \(\displaystyle \int_0^{a\pi} \sin(x)\,dx\) bestimmen.

Aufgabe 3

Einen Parameter \(b\in [0,1]\) so bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b\pi}\sin(x)\,dx = 0\) gilt.

Aufgabe 4

Einen Parameter \(b\in [0,1]\) so bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b\pi}\cos(x)\,dx = 0\) gilt.

Integral als Flächenbilanz: Polynom

Aufgabe 5

Den maximalen Parameter \(b\) bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b}(x+c)^p\,dx \leq 0\) gilt.

Integral als Flächenbilanz: Betrag

Aufgabe 6

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b|x+c|\,dx\).

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Erste Eigenschaften des bestimmten Integrals mit Beweisen; Mittelwertsatz mit Beweis

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Stammfunktionen; Integralfunktion \( \displaystyle x \mapsto I_{a} = \int_{a}^{x} f(t) \; dt \); Hauptsatz \( I_{a}' = f \) mit Beweis; Anwendung \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \; dx = F(b) - F(a) \) mit \(F' = f \)

Vergleich Integral-Stammfunktionen

Aufgabe 1

Bei zwei Integralfunktionen \(I_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt\) und \(I_b(x)=\displaystyle \int_b^x f(t)\,dt\) die Konstante \(C\) bestimmen, sodass \(I_a(x)=I_b(x)+C\).

Monotonieverhalten einer Integralfunktion

Aufgabe 2

Den maximalen Parameter \(b\) bestimmen, sodass eine Integralfunktion der Form \(I_0(x)=\displaystyle \int_0^x a\cdot (t^3+bt^2+ct)\,dt\) auf dem Intervall \([0,b]\) streng monoton wachsend ist.

Elementare Integrationsregeln

Integrationsregeln für elementare Funktionen zur Bestimmung von Stammfunktionen

Stammfunktionen elementarer Funktionen

Aufgabe 1

Bestimmung des Integrals \(\displaystyle \int f(x)\,dx\), wobei \(f\) eine elementare Funktion ist.

Bestimmtes Integral für elementare Funktionen

Berechnung eines bestimmten Integrals einer elementaren Funktion.

Aufgabe 2

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f(x)\) eine konstante Funktion ist.

Aufgabe 3

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f\) eine Funktion der Form \(f(x) = x^p\) ist.

Aufgabe 4

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} e^x\,dx\).

Aufgabe 5

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{0}^{a\pi} \cos(x)\,dx\).

Aufgabe 6

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{-a\pi}^{b\pi} \sin(x)\,dx\).

Aufgabe 7

Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f(x)\) eine quadratische Funktion definiert.

Anwendung Rechenregeln

Linearität und Symmetrie anwenden zur Berechnung bestimmter Integrale.

Aufgabe 8

Ein Integral der Form \(\displaystyle \int_a^b af(x) + bg(x)\,dx\) bestimmen, wobei verschiedene bestimmte Integrale der einzelnen Funktionen gegeben sind.

Aufgabe 9

Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer geraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\,dx\) bestimmen.

Aufgabe 10

Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer geraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_0^{-a} f(x)\,dx\) bestimmen.

Aufgabe 11

Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer ungeraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\,dx\) bestimmen.

Aufgabe 12

Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer ungeraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_0^{-a} f(x)\,dx\) bestimmen.

Mittelwert

Mittelwerte graphisch verstehen

Aufgabe 13

Bei gegebenem bestimmten Integral (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe eines Rechtecks bestimmen, sodass die Flächeninhalte gleich sind.

Aufgabe 14

Bei gegebenem bestimmten Integral (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe bestimmen, sodass die Flächeninhalte unter- und oberhalb der Höhe übereinstimmen.

Aufgabe 15

Graphisch eine Parabelfunktion aufstellen und (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe eines Rechtecks bestimmen, sodass der Flächeninhalt unter der Parabel gleich gross ist, wie das Rechteck.