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Einführungsbeispiel der zurückgelegten Strecke anhand eines Fahrtenschreibers
Definition als Riemann-Summe; Erste geometrische Interpretation; Erste Berechnung von Hand
Ein bestimmtes Integral von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.
Ein bestimmtes Integral einer linearen Funktion \(f\) der Form \(f(x)=ax\) von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.
Ein bestimmtes Integral einer quadratischen Funktion \(f\) der Form \(f(x)=ax^2\) von Hand mit der Definition des Integrals als Riemann-Summe berechnen.
Das bestimmte Integral als Fläche; Das bestimmte Integral als etwas Anderes
Integral einer konstanten Funktion graphisch durch den Flächeninhalt unter der Funktion bestimmen.
Mit der Flächenbilanz verschiedene bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen bestimmen.
Für ein \(a\) jeweils den Wert \(\displaystyle \int_0^{a\pi} \sin(x)\,dx\) bestimmen.
Einen Parameter \(b\in [0,1]\) so bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b\pi}\sin(x)\,dx = 0\) gilt.
Einen Parameter \(b\in [0,1]\) so bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b\pi}\cos(x)\,dx = 0\) gilt.
Den maximalen Parameter \(b\) bestimmen, dass \(\displaystyle \int_{a}^{b}(x+c)^p\,dx \leq 0\) gilt.
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b|x+c|\,dx\).
Erste Eigenschaften des bestimmten Integrals mit Beweisen; Mittelwertsatz mit Beweis
Stammfunktionen; Integralfunktion \( \displaystyle x \mapsto I_{a} = \int_{a}^{x} f(t) \; dt \); Hauptsatz \( I_{a}' = f \) mit Beweis; Anwendung \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \; dx = F(b) - F(a) \) mit \(F' = f \)
Bei zwei Integralfunktionen \(I_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt\) und \(I_b(x)=\displaystyle \int_b^x f(t)\,dt\) die Konstante \(C\) bestimmen, sodass \(I_a(x)=I_b(x)+C\).
Den maximalen Parameter \(b\) bestimmen, sodass eine Integralfunktion der Form \(I_0(x)=\displaystyle \int_0^x a\cdot (t^3+bt^2+ct)\,dt\) auf dem Intervall \([0,b]\) streng monoton wachsend ist.
Bestimmung des Integrals \(\displaystyle \int f(x)\,dx\), wobei \(f\) eine elementare Funktion ist.
Berechnung eines bestimmten Integrals einer elementaren Funktion.
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f(x)\) eine konstante Funktion ist.
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f\) eine Funktion der Form \(f(x) = x^p\) ist.
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} e^x\,dx\).
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{0}^{a\pi} \cos(x)\,dx\).
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_{-a\pi}^{b\pi} \sin(x)\,dx\).
Bestimmung eines Integrals der Form \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\), wobei \(f(x)\) eine quadratische Funktion definiert.
Linearität und Symmetrie anwenden zur Berechnung bestimmter Integrale.
Ein Integral der Form \(\displaystyle \int_a^b af(x) + bg(x)\,dx\) bestimmen, wobei verschiedene bestimmte Integrale der einzelnen Funktionen gegeben sind.
Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer geraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\,dx\) bestimmen.
Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer geraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_0^{-a} f(x)\,dx\) bestimmen.
Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer ungeraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\,dx\) bestimmen.
Bei gegebenem Integral \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx\) einer ungeraden Funktion \(f\) das Integral \(\displaystyle \int_0^{-a} f(x)\,dx\) bestimmen.
Mittelwerte graphisch verstehen
Bei gegebenem bestimmten Integral (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe eines Rechtecks bestimmen, sodass die Flächeninhalte gleich sind.
Bei gegebenem bestimmten Integral (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe bestimmen, sodass die Flächeninhalte unter- und oberhalb der Höhe übereinstimmen.
Graphisch eine Parabelfunktion aufstellen und (als Fläche unter einer Funktion) die Höhe eines Rechtecks bestimmen, sodass der Flächeninhalt unter der Parabel gleich gross ist, wie das Rechteck.