Khan*-Aufgaben im Basisjahr+

Die Aufgaben wurden ausgehend vom Khan-Exercise Framework erstellt. Siehe auch für unsere Weiterentwicklung D-MATH-Seite und ein Vademecum.

Die Sortierung folgt im Wesentlichen dem Verlauf der LEs Mathematik I - III (401-0291-00L, 401-0292-00L und 401-0293-00L) oder separat eine Auswahl Analysis und Lineare Algebra.

Diskrete eindimensionale Entwicklungen
Funktionen
Differentialrechnung in einer Variablen
Integralrechnung I: Stammfunktionen
(Lineare) Differentialgleichungen (1. Ordnung)
Lineare Algebra
Komplexe Zahlen
(Homogene) Lineare DGL-Systeme
Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Integralrechnung II: Hauptsatz und Anwendungen, Gebietsintegral
Differentialrechnung II
Vektoranalysis
Varia

Diskrete eindimensionale Entwicklungen

Lineare Modelle

Explizite Darstellung

Rekursive Darstellung

Exponentielle Modelle

Explizite Darstellung

Rekursive Darstellung

Fixpunkte einer Entwicklung und Grenzwerte

Fixpunkte bestimmen

Noch mehr Fixpunkte bestimmen

Fixpunkte vorgegeben

Noch mehr Fixpunkte vorgegeben

Grenzwert vorgegeben

Funktionen

Graphen, Vorschrift, Werte und Manipulationen

Exponential- und Logarithmus-Funktionen

Funktion bestimmen mit zwei Werten

Log-Kurve ausgleichen

Log-Kurve noch mehr ausgleichen

Trigonometrische Funktionen

Phasenverschiebung Sinus

Frequenzmodulation

Phasenverschiebung Sinus

Additionstheorem

Additionstheorem

Gleichung lösen

Verkettung von Funktionen

Zwei Funktionen

Drei Funktionen

Halb-Exponentialdarstellung

Halb-Logarithmische Darstellung

Perioden bestimmen

Polynomdivision

Grad 3 durch Linear

Grad 4 durch Quadratisch

Kubische Nullstellen

Anwendungen auf Veränderungsprozesse

Wachstumsfaktor oder Basis berechnen

Verdopplungszeit

Modell aufstellen

Radioaktiver Zerfall

Exponentielle Prozesse

Beispiel Wachstum

Altersbestimmung

Medikamentenabbau

Stetigkeit, Grenzwert \( x \to x_0 \) oder \( \infty \)

Differentialrechnung in einer Variablen

Differentialquotient berechnen

Aufgabe 1 Expression

Aufgabe 2 Expression

Wert der Ableitung

eines Quotienten von Funktionen

einer Verkettung

Ableitung und Tangente

Logarithmus mit horizontaler Tangente

Kubisch mit Extremum

Kubisch mit horizontaler Tangente

Quadratische Funktion

Trigonometrische Funktionen

Polynomfunktion

Logarithmus-Funktion

Funktion mit Wendepunkt finden

Frida und Gustav laufen

Linearisierung und Taylor-Polynome

Taylor-Polynom 3. Grades \(T_3(x) \)

Taylor-Polynom 2. Grades \(T_2(x) \)

Integralrechnung I: Stammfunktionen

Elementare Stammfunktionen Expression

Partielle Integration

Aufgabe 1Expression

Aufgabe 2Expression

Aufgabe 3Expression

Substitution

Aufgabe 1Expression

Aufgabe 2Expression

Aufgabe 3Expression

Partialbruchzerlegung

Konstant durch KubischExpression

Linear durch KubischExpression

Quadratisch durch KubischExpression

Weitere Techniken

Mit Additionstheoremen

(Lineare) Differentialgleichungen (1. Ordnung)

Gewöhnen an DGL: (Spezielle) Lösung vervollständigen

Bestimmen einer speziellen Lösung: Lineare Inhomogenität

Bestimmen einer speziellen Lösung: 2. Ordnung

Stationäre Lösungen \( y_\infty \) für \( y' = F(y) \)

Bestimmen der Stationären Lösungen

Stationäre Lösung: Konvergenz

Lineare Differentialgleichungen mit Konstanten Koeffizienten

Bestimmen der Stationäre Lösung

Bestimmen der Allgemeinen Lösung

Bestimmen einer Speziellen Lösung

Bestimmen einer Speziellen Lösung

Bestimmen von Werten einer Speziellen Lösung

Anwendung Richtungsfeld einer DGL

DGL mit Richtungsfeld bestimmen

DGL nochmals mit Richtungsfeld bestimmen

Richtungsfeld lesen

Richtungsfeld lesen: quadratisch

Richtungsfeld lesen: quadratisch (nicht normiert)

DGL mit Richtungsfeld bestimmen: quadratisch

Mit Richtungsfeld Konvergenz bestimmen (MC)

Mit Richtungsfeld Wertebereich bestimmen

Homogene Differentialgleichungen

Bestimmen von Werten einer Speziellen Lösung

Inhomogene Differentialgleichungen (Variation der Konstanten)

Bestimmen von Werten einer Speziellen Lösung

Bestimmen von weiteren Werten einer Speziellen Lösung

Bestimmen von noch mehr Werten einer Speziellen Lösung

Bestimmen einer speziellen Lösung

Lösung durch Trennen der Variablen

Bestimmen von Werten nach Lösen mit Trennung

Lösung mit Trennung finden

Weitere Lösung mit Trennung finden

Noch mehr Lösungen mit Trennung finden

Noch mehr weitere Lösungen mit Trennung finden

Lineare Algebra

Matrix-Vektor- und Matrix-Matrix-Produkt

Matrix-Vektor-Produkt \( A \cdot v\)

Matrix-Matrix-Produkt \( A \cdot B\)

Dimension Matrix-Matrix-Produkt \( A \cdot B\)

Lineare Abbildungen

Matrix-Abbildung \(v \mapsto A \cdot v\) bestimmen

Noch eine Matrix-Abbildung \(v \mapsto A \cdot v\) bestimmen

Wert für lineares \(\mathcal F : V \to \mathbb R\) bestimmen

Weitere Werte für lineares \(\mathcal F: V \to \mathbb R\) bestimmen

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte einer \( 2 \times 2\) - Matrix

\( 2 \times 2\) - Matrix mit vorgegebenen EW

\( 4 \times 4\) - Matrix mit vorgegebenen EW

\( 2 \times 2\) - Matrix mit vorgegebenen EV

\( 3 \times 3\) - Matrix mit vorgegebenen EV

EV und EW bestimmen

EV und EW bestimmen (TBC)

Matrix-Vektor-Iterationen

Matrix-Vektor-Konvergenz gegen Nullvektor

Determinante

Inverse einer \( 2 \times 2 \) - Matrix

\( 3 \times 3 \) - Matrix

Homogenes LGS mit nichttrivaler Lösung

Gauss-Verfahren

LGS in Dreiecksform

Zeilenstufenform als Dreieck

Noch ein Schritt zur Zeilenstufenform als Dreieck

Gauss \( 3 \times 3 \) LGS: eindeutig

Basen and Friends

Koordinatenvektor berechnen

Koordinatenvektor mit SKP berechnen

Skalarprodukte

Skalarprodukt berechnen

Mehr Skalarprodukte berechnen

Skalarprodukte in \(C^0([a,b], \mathbb R)\)

Skalarprodukte in \(\mathcal P_{\leq n}\)

Orthogonalität in \(\mathcal P_{\leq n}\)

Länge in \(\mathcal P_{\leq n}\)

Mehr Länge in \(\mathcal P_{\leq n}\)

Jordan and Friends

Jordanform angeben

Komplexe Zahlen

Darstellung und erste Rechenoperationen

Realteil ablesen

Imaginärteil ablesen

Kartesische Koordinaten ablesen

Kartesische Koordinaten vorgegeben

Komplexe Zahlen addieren

Addition geometrisch

Subtraktion geometrisch

Realteil eines Produkts Komplexer Zahlen

Imaginärteil eines Produkts Komplexer Zahlen

Produkt Komplexer Zahlen

Realteil eines Quotienten Komplexer Zahlen

Imaginärteil eines Quotienten Komplexer Zahlen

Division Komplexer Zahlen

Multiplikation Polarform

Division Polarform

Geometrie in der Komplexen Zahlenebene

Konjugieren einer Komplexen Zahl

Betrag einer Komplexen Zahl

Argument einer Komplexen Zahl

Polarform bestimmen

Drehung einer Komplexen Zahl: Realteil

Drehung einer Komplexen Zahl: Imaginärteil

Drehung einer Komplexen Zahl

Produkt abschätzen

(Homogene) Lineare DGL-Systeme

Existenz eines Stationären Zustands

Stationären Zustand bestimmen

System mit definiertem Stationären Zustand

Stationären Zustand in inhomogenen Fall bestimmen

Matrix-Exponential \(e^A\)

Matrix-Exponential \(e^A\) für \( 2 \times 2\) - Matrix \(A\)

Ebene Kurven

Gradlinige Verbindung

Gradlinige Verbindung: Langsamer

Gradlinige Verbindung: Schneller

Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Bestimmen Allgemeine Lösung (reell)

Bestimmen Allgemeine Lösung (komplex)

Bestimmen von Werten einer Speziellen Lösung

System vs. DGL 2. Ordnung

Integralrechnung II: Hauptsatz und Anwendungen

Bestimmtes Integral von Hand berechnen

Bestimmtes Integral als Flächenbilanz

Konstant / Rechteck

Hauptsatz und Integralfunktion

Vergleich Integralfunktionen

Monotonie der Integralfunktion

Bestimmtes Integral berechnen

Quadratisches / Kubisches Monom

Quadratisches Polynom

Mit Partieller Integration

Anwendung der Integralrechenregeln

Gerade Funktion 1

Gerade Funktion 2

Ungerade Funktion 1

Ungerade Funktion 2

Gebietsintegral

Beschreibungen eines Dreiecks in der Ebene

Eine Möglichkeit (MC)

Noch eine Möglichkeit (MC)

Gebietsintegral übersetzen

Eine Möglichkeit für ein Dreieck (MC)

Noch eine Möglichkeit für ein Dreieck (MC)

Eine Möglichkeit für ein Rechteck (MC)

Für ein Rechteck berechnen

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) für eine lineare Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\) mit Eckpunkt \((0,0) \in D\)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) für eine lineare Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\) für beliebiges Rechteck (achsenparallel)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) für eine lineare Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\) für beliebiges Rechteck (nicht achsenparallel)

Für ein Dreieck berechnen

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) für eine lineare Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) für eine lineare Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\), mit einem anderen \( D \)

Wert eines Gebietsintegrals für Dreieck berechnen

Polarkoordinaten

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) mit \(\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2 +y^2}\)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) mit \(\displaystyle f(x,y) = \frac 1{x^2 +y^2}\)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) mit \(\displaystyle f(x,y) = \frac 1{\sqrt{x^2 +y^2}} \)

\(\displaystyle \int \int_D f(x,y) dA\) mit \(\displaystyle f(x,y) = e^{x^2 +y^2}\)

Differentialrechnung II

Kritische Punkte für \( f : \mathbb R^2 \to \mathbb R \)

Für eine Funktion \(f\) mit \(f(x,y) = a x^2 + bxy +cx + d y^2\)

Tangentialebene

Tangentialebene im Ursprung

Tangentialebene in einem beliebigen Punkt \( P = (x_0,y_0)\)

Tangentialebene in Koordinatenform \( E: z = ax +b y +c\)

Implizite Differentiation

Tangentensteigung an Kurve \(a x^2 + bxy +c y^2 = 0\)

Nicht lineare Systeme \(y' = F(y), F: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \)

Fixpunkte finden

Noch mehr Fixpunkte finden

Stabile Fixpunkte finden

Vektoranalysis

Kurvenintegral

\(\displaystyle \int_\gamma f \ ds\) für eine Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\): Rechteck, geometrisch

\(\displaystyle \int_\gamma f \ ds\) für eine Funktion \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\): Kreis, parametrisch

Vektorfelder

Werte (geometrisch) finden

Vektorfelder identifizieren (MC)

Konservative Vektorfelder

Kriterium Konservativ

Kriterium Konservativ

Berechnung \( \nabla f \)

Arbeitsintegral

\(\displaystyle \int_\gamma K \cdot d\gamma\) bei gegebener Parametrisierung

\(\displaystyle \int_\gamma \nabla f \cdot d\gamma\) für Gradientenfeld

\(\displaystyle \int_\gamma K \cdot d\gamma\) zwischen \((0,0)\) und \((P,Q)\)

\(\displaystyle \int_\gamma K \cdot d\gamma\) zwischen \((A,B)\) und \((P,Q)\)

Formel von Green und Ebener Satz von Gauss

Anwendung Green für Berechnung der Arbeit

Anwendung Gauss zur Flussberechnung

Varia

Fourier-Koeffizienten der Ableitung